Diketahui \( \vec{a} = (4,2p) \) dan \( \vec{b} = (2,2) \) dan \( \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ \). Maka konstanta \(p\) adalah…
- \( 4 \pm 2 \sqrt{3} \)
- \( -2 \pm \sqrt{3} \)
- \( -4 \pm 3 \sqrt{2} \)
- \( 5 \pm 3 \sqrt{3} \)
- \( -4 \pm 2 \sqrt{3} \)
Pembahasan:
Berdasarkan perkalian titik dua vektor, diperoleh:
\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \\[8pt] (4)(2)+(2p)(2) &= \sqrt{4^2+(2p)^2} \cdot \sqrt{2^2+2^2} \cdot \cos 60^\circ \\[8pt] 8+4p &= \sqrt{16+4p^2} \cdot \sqrt{4+4} \cdot \frac{1}{2} \\[8pt] 16+8p &=\sqrt{16+4p^2} \cdot \sqrt{8} \\[8pt] (16+8p)^2 &= (16+4p^2) \cdot 8 \\[8pt] 256+256p+64p^2 &= 128+32p^2 \\[8pt] 32p^2+256p+128 &= 0 \\[8pt] p^2+8p+4 &= 0 \end{aligned}
Selanjutnya, untuk mencari nilai \(p\), kita dapat menggunakan rumus ABC dari persamaan kuadrat, yakni:
\begin{aligned} p_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{ 2a } = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2-4(1)(4)}}{2(1)} \\[8pt] &= \frac{-8 \pm \sqrt{64-16} }{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{2} \\[8pt] &= \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &= -4 \pm 2\sqrt{3} \end{aligned}
Jawaban E.